home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter1.4p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  6.8 KB  |  357 lines
  1. à 1.4è Separable First Order Differential Equations
  2.  
  3. äèèFïd ê general solution
  4.  
  5. âèè The differential equationè y» =èxìy
  6.     can be rewritten asè dy / yè=èxì dx
  7.     This is a separable differential equation as ê variables
  8.     are on opposite sides ç ê equation.èIntegratïg each side
  9.     with respect ë its variable yieldsèê general solution
  10.         ln[y] = xÄ/3 + ln Cèèèè╨Ä/3
  11.     Solvïg for y yieldsèèèè y = Ce
  12.  
  13. éS    èèA first order differential equation is said ë be
  14.     SEPARABLE if it can be rearranged ë one ç ê forms
  15.             èèè dy
  16.         M(x)è+èN(y) ────è=è0
  17.             èèè dx
  18.     Or
  19.         M(x) dxè= - N(y) dy
  20.  
  21.     The name separable reflects ê fact ê ê left hå side
  22.     ç ê equation is a function ç x alone while ê right
  23.     hå side is a function ç y only.è
  24.  
  25.         A separable differential equation is solved by
  26.     ïtegratïg both sides with respect ë êir variables.
  27.         ░        è░
  28.         ▒èM(x) dxè=è-è▒èN(y) dy 
  29.         ▓        è▓
  30.  
  31.     èèA CONSTANT OF INTEGRATION needs ë be added ë one ç ê
  32.     sides.èFrequently, if one or both ïtegrations result ï a
  33.     NATURAL LOGARITHM, ê constant should be written ï ê form
  34.     ln[C].èThe range ç ln[C] is all real numbers so êre is no
  35.     loss ç generality. This term may lead ë a simpler form ç 
  36.     ê general solution via properties ç logarithms.
  37.  
  38.     èèOften, ê general solution cannot be simplied ë yield 
  39.     an EXPLICIT general solutionèy = F(x, C)èbut it must be
  40.     left as an IMPLICIT SOLUTION between ê variables x å y.
  41.  
  42.  1    y»è=èx / y
  43.  
  44.  
  45.     A)    y = Cx            B)    y = xì + C
  46.  
  47.     C)    yì = xì + C        D)    yì + xì = C
  48.  
  49. ü    èèSeparatïgè y» = x / yè
  50.  
  51.     yieldsèèè y dyè=èx dx
  52.  
  53.     Integratïg both sides
  54.         ░    èèè░
  55.         ▒èy dyè =è ▒èx dx
  56.         ▓    èèè▓
  57.     yields, by ê power rule
  58.  
  59.         yì / 2è=èxì / 2è+èK
  60.  
  61.     Multiplyïg both sides by 2 å renamïg ê constant ç
  62.     ïtegration yields ê general solution
  63.  
  64.         yìè=èxìè+èC
  65.  
  66. ÇèC
  67.  
  68. è2    y»è=èy / x
  69.  
  70.  
  71.     A)    y = Cx            B)    y = xì + C
  72.  
  73.     C)    yì = xì + C        D)    yì + xì = C
  74.  
  75. ü    èèSeparatïgè y» = y / x
  76.  
  77.     yieldsèèè dy / yè=èdx / x
  78.  
  79.     Integratïg both sides
  80.         ░èdy    èèè░è dx
  81.         ▒ ────èè=è ▒è────
  82.         ▓è y    èèè▓èèx
  83.     yields, by ê differentiation formula
  84.  
  85.         ln[y]è=èln[x]è+èln[C]
  86.  
  87.     Usïg properties ç logarithms, ê general solution is
  88.  
  89.         yè=èCx
  90.  
  91. ÇèA
  92.  
  93.  3    y» = cos[x]così[y]
  94.  
  95.     A)    tan[y] = cos[x] + C
  96.  
  97.     B)    tan[y] = sï[x] + C
  98.  
  99.     C)    cot[y] = cos[x] + C
  100.  
  101.     D)    cot[y] = sï[x] + C
  102.  
  103. ü    èèSeparatïgè y» = cos[x]così[y]
  104.  
  105.     yieldsèèèè dyè
  106.         èè───────è=ècos[x] dx 
  107.         èècosì[y]
  108.  
  109.     Usïg a trig identity, this can be rewritten as
  110.  
  111.         secì[y] dyè=ècos[x] dx
  112.  
  113.     Integratïg both sides
  114.         ░è        è░è 
  115.         ▒ secì[y] dyè=è ▒ècos[x] dx
  116.         ▓è     èèèèè▓
  117. èè
  118.     yields, by ê differentiation formulas, ê general solution.
  119.  
  120.         tan[y]è=èsï[x]è+èC
  121.  
  122. ÇèB
  123.  
  124. è4     x dxè+èye╣ dyè=è0
  125.  
  126.     A)    yì / 2è=èxe╣è+èe╣è+èC
  127.     B)    yì / 2è=èxe╣è-èe╣è+èC
  128.     C)    yì / 2è=èxeú╣è+èeú╣è+èC
  129.     D)    yì / 2è=èxeú╣è-èeú╣è+èC
  130.  
  131. ü    èèSeparatïgè x dxè+èye╣ dyè=è0
  132. è
  133.     yieldsèèè y dyè=è- x eú╣ dx
  134.  
  135.     Integratïg both sides
  136.         ░    èèè ░
  137.         ▒èy dyè =è- ▒èx eú╣ dx
  138.         ▓    èèè ▓
  139.     The y-ïtegral ïtegrates directly by ê power rule but ê
  140.     x-ïtegral requires ïtegration by parts
  141.         u = xèèèèè du = dx
  142.         dv = eú╣ dx    v = -eú╣
  143.                     è░
  144.         yì / 2è=è- x (-eú╣)è-è▒ eú╣ dx
  145.                     è▓
  146.     This ïtegrates by substitution ë yield ê general solution.
  147.     
  148.         yì / 2è=èxeú╣è+èeú╣è+èC    
  149.  
  150. ÇèC
  151.  
  152.  5        1 + y
  153.         y»è=è───────
  154.             1 + x
  155.  
  156.     A)    1 + y =èC(1 + x)
  157.  
  158.     B)    (1 + y)ì =è(1 + x)ì + C
  159.  
  160.     C)    yì = xì + c
  161.  
  162.     D)    yì + 2y = xì + 2x + C
  163.  
  164. ü    èèSeparatïgè     
  165.             1 + y
  166.         y»è=è───────
  167.             1 + x
  168. è
  169.     yieldsèè dyè    èèè dx
  170.         ───────è=è───────
  171.          1 + y    èè 1 + x
  172.  
  173.     Integratïg both sides
  174.         ░èè dy     ░èè dx
  175.         ▒è───────è =è ▒è───────
  176.         ▓è 1 + y     ▓è 1 + x
  177.  
  178.     Both can be ïtegrated usïg ê denomïaër ï each case as
  179.     ê substitution variable yieldïg
  180.  
  181.         ln[1 + y]è=èln[1 + x]è+èln[C]
  182.  
  183.     Rearrangïg, usïg properties ç logarithms, yields ê
  184.     general solution
  185.  
  186.         1 + yè=èC(1 + x)
  187.  
  188. ÇèA
  189.  
  190.  6        1 + x
  191.         y»è=è───────
  192.             1 + y
  193.     A)    1 + y =èC(1 + x)
  194.     B)    (1 + y)ì =è(1 + x)ì + C
  195.     C)    yì = xì + c
  196.     D)    yì + 2y = xì + 2x + C
  197.  
  198. ü    èèSeparatïgè     
  199.             1 + x
  200.         y»è=è───────
  201.             1 + y
  202. è
  203.     yields    è(1 + y) dyè=è(1 + x) dx
  204.  
  205.     Integratïg both sides
  206.         ░èè     èèèèèè░èè 
  207.         ▒è(1 + y) dyè =è ▒è(1 + x) dx
  208.         ▓è         èè▓
  209.  
  210.     Both can be ïtegrated by ê power rule yieldïg
  211.  
  212.         y + yì/2è=èx + xì/2è+èK
  213.  
  214.     Multiplyïg by 2 å renamïg ê constant prodcues ê
  215.     general solution.
  216.  
  217.         yì + 2yè=èxì + 2x + C
  218.  
  219. ÇèD
  220.  
  221. äèèSolve ê ïitial value problem
  222.  
  223. â        For ê separable, first order differential equation
  224.             y' =è-sï[x]/yèèy(0) = 5
  225.         This separates ëèèy dy = -sï[x] dxè     
  226.         The general solution isèyì/2 = cos[x] + C
  227.         Substitutïg x = 0 ïë ê general solution yields
  228.         25/2 = 1 + C so ê ïitial value problem's solution
  229.         isèèyì/2 =ècos[x] + 23/2 or yì = 2cos[x] + 23
  230.  
  231. éS    èèA full discussion ç Initial Value Problems for FIRST
  232.     ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS is ï Section 1.2.è
  233.  
  234.     èèBriefly, solvïg an Initial Value Problem is a two-step
  235.     process.èFirst, fïd ê GENERAL SOLUTION ç ê differential
  236.     equation.è Second, substitute ï ê ïitial value ïfor-
  237.     mationèi.e.èx╠ for x å y╠ for y.èThis will produce an
  238.     equation for C which provides ê value ç ê arbitrary 
  239.     constant ë put back ï ê general solution.
  240.  
  241.  7    y» = yÄ/xì
  242.         y(3) = 2
  243.  
  244.     A)    y = ln[x] + 2
  245.     B)    yì = x + xyì/12
  246.     C)    yÄ = 3/2 xì - 12
  247.     D)    yÅ = 4/3 xÄ - 20
  248.  
  249. ü    èèSeparatïgè y» = yÄ/xì
  250. è
  251.     yieldsèèè dyèèè dx
  252.         èè────è=è────
  253.         èè yÄèèè xì
  254.  
  255.     Integratïg both sides
  256.         ░è dy    èèè░è dx
  257.         ▒è────è =è ▒è────
  258.         ▓è yÄèèèè▓è xì
  259.     Both sides ïtegrate by ê power rule ë yield
  260.  
  261.         -1/2yìè=è-1/x + K
  262.  
  263.     Multiplyïg both sides by -2xyì å renamïg ê constant yields
  264.     ê general solution
  265.  
  266.         yìè=èx + Cxyì
  267.  
  268.     Subsitutïgèy = 2 å x = 3 yields
  269.     
  270.         4è=è3 + C·3·4
  271.  
  272.     So    C = 1/12
  273.  
  274.     The specific solution is
  275.  
  276.         yìè=èxè+ xyì/12
  277. ÇèB
  278.  
  279.  8    y» = xì/yÄ
  280.         y(3) = 2
  281.  
  282.     A)    y = ln[x] + 2
  283.     B)    yì = 2x - 2
  284.     C)    yÄ = 3/2 xì - 12
  285.     D)    yÅ = 4/3 xÄ - 20
  286.  
  287. ü    èèSeparatïgè y» = xì/yÄ
  288. è
  289.     yieldsèèèyÄ dyè=èxì dx
  290.         
  291.     Integratïg both sides
  292.         ░è     èèè░è 
  293.         ▒ yÄ dyè =è ▒èxì dx
  294.         ▓èèèèèè ▓è 
  295.     Both sides ïtegrate by ê power rule ë yield
  296.  
  297.         yÅ/4è=èxÄ/3 + K
  298.  
  299.     Multiplyïg both sides by 4 å renamïg ê constant yields
  300.     ê general solution
  301.  
  302.         yÅè=è4/3 xÄ + C
  303.  
  304.     Subsitutïgèy = 2 å x = 3 yields
  305.     
  306.         16è=è4/3 (27) + C
  307.  
  308.     or    16è=è36 + C
  309.  
  310.     So    C = - 20
  311.  
  312.     The specific solution is
  313.  
  314.         yÅè=è4/3 xÄè-è20
  315. ÇèD
  316.  
  317.  9    cos[2x] dxè+èsï[3y] dyè=è0
  318.         y(π/2) = π/3
  319.  
  320.     A)    cos[3y] = 3/2 sï[2x] - 1
  321.     B)    cos[3y] = 3/2 sï[2x] + 1
  322.     C)    cos[3y] = -3/2 sï[2x] + 1
  323.     D)    cos[3y] = -3/2 sï[2x] - 1
  324.  
  325. ü    èèSeparatïgè cos[2x] dxè+èsï[3y] dyè=è0
  326. è
  327.     yieldsèèè -sï[3y]dyè=ècos[2x]dx
  328.  
  329.     Integratïg both sides
  330.         ░è         èè░è 
  331.         ▒ -sï[3y] dyè =è ▒ècos[2x] dx
  332.         ▓è     èèèèèè▓è
  333.  
  334.     Both sides ïtegrate by subsitutionèu = 3y on ê left å
  335.     w = 2x on ê right å use trig ïtegration formulas ë yield
  336.  
  337.         cos[3y]/3è=èsï[2x]/2 + K
  338.  
  339.     Multiplyïg both sides by 3 å renamïg ê constant yields
  340.     ê general solution
  341.  
  342.         cos[3y]è=è3/2 sï[2x] + C
  343.  
  344.     Subsitutïgèy = π/3 å x = π/2 yields
  345.     
  346.         -1è=èC
  347.  
  348.     The specific solution is
  349.  
  350.         cos[3y]è=è3/2 sï[2x] - 1
  351. ÇèA
  352.  
  353.  
  354.  
  355.  
  356.  
  357.